2016年11月21日

かけ算の順序を巡る話題

算数のテストで、かけ算の順序を間違えて、×にされたという話が、割と繰り返されている。
この点について、少々考えてみた。

【定義に立ち返る】

小学校の教科書によると、
5×3 は、「5を3回足したもの」
3×5 は、「3を5回足したもの」
ということで、意味が異なることになる。

意味が異なるから、当然、「前後をひっくり返しても答えは同じ」というのは、自明ではない。
厳密な数学の世界なら証明が必要だし、小学校でも「発見」の過程は通過するはずである。

なので、この定義に立ち返る限り、かけ算の順序は大切だということになる。


【ちなみに、数学的な定義は】

 数学の世界で、自然数のかけ算は、以下のように定義される(ペアノの公理系からスタートする手法)

A×1=A(1をかけても変わらない)
A×B=A×(Bのひとつ前の数)+A

※これは、日常的な言葉で言えば、「AをB回足したもの」というこになる。
 ただ、厳密には、B回足すということの定義が結構難しいので、こういう回りくどい定義になる。

例えば、

5×3 =
5×2(←3のひとつ前の数)+5=
(5×1(←2のひとつ前の数)+5)+5=
(5←定義から、5×1=5)+5+5=15

こんな感じの定義になっている。
厳密には、この式だけから、交換法則が成り立つことを証明する。

ただ、この定義は、「自然数」限定の定義である。
「前の数」などという言葉が出てくる定義を、有理数や無理数のかけ算にそのまま適用することはできない。
ならば、有理数や無理数はどう扱うのか?
実は、これ以降は、「かけ算の拡張」が行われる。

例えば、有理数(分数)のかけ算は、
b/a × d/c = (b×d)/(a×c)と定義される。
(a, b, c, d は整数なので、かけ算が定義されていることに注意)

そして、今、整数 N を N/1, M を M/1 と同一視すると、この、「有理数におけるかけ算の定義」は、「その部分集合である、整数に対して適用するときには、整数のかけ算と全く同じ」ということを証明し、「かけ算の有理数への拡張」とする。

というわけで、数学全体から見れば、自然数(少なくとも整数)の範囲を超えた時点で、「かけ算の順序」は無意味になる(少なくとも、その意味は希薄になる)のは確かである。
だからといって、かけ算の初学で、自然数においてもかけ算の順序は無意味であるとはいえないわけである。

【不意打ちではない】

 この話題の発端というのは、多くの場合、「子供がテストで×をつけられた」というところからスタートするような気がする。それを見た親の立場で、「かけ算の順序なんてどうでもいいもので、×をつけるのはどういうこと?」という流れのようだ。
 ただ、これは、何もそのときのテストで、いきなり、「間違いです」と言われたわけでもないというのは、わかっていただけるといいかなという気はする。

 そして、もしも、「このテストの判定はおかしいのではないか?」と思ったら、まずは、教科書を確認して欲しいと思う。
 学校では、どういう意図を持って、何を(計算方法なのか、定義なのか)教えているのかがわかっていただけると思う。
 さらに、教科書に載っている事項と言うことは、そのテスト以前に、教えられているはずだということも、わかっていただけると思う。

 確かに、「教える事項や方法は、それで妥当なのか」という議論はあるだろう。でも、少なくとも「何を意図しているか」を知るのは大切だと思う。また、「テストでいきなり理不尽な扱いを受けた」訳ではないことは、これまたわかっていただけると思う。
 それは、授業で確かにやった(はずの)内容だから。

【出題のテクニック】

 この項目は、憶測である。

 かけ算の順序が間違うというのは、文章題の回答樽と思う。
 そして、小学校低学年に文章題というのは、案外ハードルは高い。
 勢い、一定割合の児童は、問題文を読み解くことなく、「問題に出てくる数字を順番に式に割り当てる」という方法で対応することになる。
 例えば、「一本5円の鉛筆を3本買いました。いくらですか?」なら、「正解」も「問題に出てくる数字を順番に割り当てる」でも、5×3=15と立式される。
 しかし、「鉛筆を3本買いました、1本5円でした。いくらですか?」なら、「正解」は、5×3=15になるし、「数字を順番に割り当てる」だと、3×5=15という立式になる。

 だから、「かけ算の順序などというどうでもいいことで×にされた」というよりも、「題意を理解できてなくて、単に数字を順番に割り当てて問題を解こうとしている」という傾向に注意すべきかもしれないのだ。

【追記・マイナス×マイナス=プラス?】

本稿に関連して、これも、よく見られる質問で、「マイナス×マイナス=プラス」になるのはなぜか? というものがある。
これを読むたびに、本当は、そこでつまずくのではなく、もう一つ前の段階でつまずいて欲しかったなと思ったりする。

上述の「かけ算の定義」によれば、例えば、
(−3)×5は、「−3を5回足すこと」である(マイナス×プラス=マイナス)
これは、比較的わかりやすいと思う。

次に、
3×(−5)は、「3を(−5)回足す」ことになる。
−5回足すというのはどういうことなのだろうか?

この謎が理解できれば、
(−3)×(−5)は、「(−3)を(−5)回足すこと」の意味で、プラスになるのは容易にわかる。

つまり、マイナス×プラス と プラス×マイナス は、考え方としては、後者の方がかなり難しい。
そして、プラス×マイナス が理解できていれば、マイナス×マイナスは、今度は自然に理解できる。

こういうところでも、初期に習ったかけ算の概念が、薄くなっていることは感じられたりする。
posted by 麻野なぎ at 12:28| Comment(0) | TrackBack(0) | 誤解される数学